倍数・約数等に関する問題の解答
それでは、倍数・約数等に関する問題の解答解説です。
なお、問題には当初（5）もあったのですが、
破綻していたので削除しました。
（1）いくつかのアメ玉がある。これらを8個ずつ袋に入れたときも、10個ずつ入れたときも、12個ずつ入れたときも5個余った。アメ玉の個数が400個以上600個以下であるとき、このアメ玉の個数を求めよ。
【解答】
アメ玉の個数を求める問題です。
アメ玉の個数をとおきます。
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⇒
⇒
◇や△、☆を用いて式を作りましたが、それぞれの個数で分けた時に必要な袋の数もこの問題では分かりません。つまり、値のはっきり分かっていない未知数はアメ玉の数も含めて4種類あります。しかし、与えられた条件から作れる等式は3つ。これでは方程式で解くのは難しそうです。
この問題は、式の形から分かる通り、公倍数の問題です。
を満たす数は8，10，12の公倍数ですよね。
最小公倍数は120。公倍数は120，240，360，480，600…と続きます。
よって、=120，240，360，480，600…なのですから、
=125，245，365，485，605…と続きます。
このうち、400個以上600個以下という題意を満たすのは485のみです。
答え：2 （アメ玉の個数は485個）
（2）生徒を長いすに座らせるのに、7人ずつ座らせると最後のいすには5人だけが座ることになり，8人ずつ座らせると最後のいすには6人だけ座ることになる。このとき、生徒の人数は何人か求めよ。ただし、生徒の人数は280人以上350人以下とする。
【解答】
（1）と似た問題ですね。生徒の数をとします。
生徒の人数だけでなく、7人や8人ずつ座らせたときに必要なそれぞれのいすの数も分からない。
公倍数の問題でしょうけれど、余りが同じ値ではない。
それなら、（割る数）‐（余り）の値を確認しましょう。どちらも2です。
ということは、を満たすのは、7と8の公倍数から2を引いた値だと分かります。
7と8の最小公倍数は56なので、公倍数は56，112，168，224，280，336，392…と続きます。
よって、=54，110，166，222，278，334，390…と続きます。
このうち、280人以上350人以下という題意を満たすのは334のみです。
答え：3 （生徒の数は334人）
（3）縦150cm、横252cmの床がある。ここにできるだけ大きな正方形のタイルをすき間なく敷き詰める場合、タイルは何枚必要か。
【解答】
縦150cm、横252cmの床に縦と横の長さの同じ正方形のタイルを敷き詰める、要するに、床の縦と横の長さのふたつを割り切れる値を求める問題です。
正方形の一辺の長さをとします。
正方形の一辺だけでなく、それぞれの商となる値も分からない。未知数3つに対して等式が2つでは、方程式では解くのが難しそうです。
でも、の値が150や252を割りきれる数だというのは分かる。つまり、
の値は150と252の公約数であると分かります。
150と252の最大公約数は6。できるだけ大きな正方形のタイルを敷き詰めるという題意から、答えは6だと分かります。
答え：3 （正方形の一辺の長さは6 cm）
（4）2桁の2つの自然数AとBの最大公約数が6，最小公倍数が144のとき、AとBの和を求めよ。
【解答】
Aを最大公約数である6で割ったときの商をa、B最大公約数である6で割ったときの商をbとおきます。、
ということです。題意より、自然数AとBを連除法すると以下のように書けます。
６）Ａ Ｂ
ａ ｂ
AとBの最大公約数が6なのですから、aとbを共通して割りきれる数があっては題意に反しますね。つまり、aとbを共通して割りきれる数はないので、aとbとは互いに素であるといいます。互いに素の関係にある自然数の最大公約数は1になります。
さて、題意より最小公倍数は144ですから、以下の式が成り立ちます。
よって、
つまり、aとbはかけると24になるというのが分かります。
かけて24になる2つの数の組み合わせは以下の4通りになります。
（1，24）（2，12）（3，8）（4，6）
この4組の中で互いに素の関係になっているのは（1，24）、（3，8）のふた通り。
（a，b）=（1，24）だとすると、B＝6×24=144と3桁の数になってしまい、題意を満たしません。
（a，b）=（3，8）ならば、A=6×3=18、B=6×8＝48となり、共に2桁の数になります。
もちろん、（a，b）=（8，3）だとしてもOKです。
要するに、最大公約数が6，最小公倍数が144になる2桁の数は18と48ということです。
したがってこの2つの数の和は66となります。
答え：4 （AとBの和は66）
