素数に関する要点解説 - 基礎からガッツリ！　数的推理

それでは早速、学習を進めていきましょう。
まずは素数の要点から説明していきます。
しっかり理解して、次回にアップする問題を解いてみましょう。

・素数とは？
　①1と自分自身の2つしか約数を持たない自然数（正の整数）のこと。
　②どの自然数も、素数の積の形で表すことができる。

・覚えておくべき素数は？
　素数は無限に存在しますが、小さいほうから9つは必ず覚えておきましょう。
　素因数分解をする際、役に立ちます。
　　⇒2，3，5，7，11，13，17，19，23，（29，31…）
　　　※兄さんゴー、セブンイレブンの父さんいいな、行く兄さん（肉くさい…）

・素因数分解
　素数の積の形で自然数を表すことを素因数分解といいます。
　下の例のように、ひたすら素数だけで割り続けます。
　（例）　　2）1848
　　　　　　2） 924
　　　　　　2） 462
　　　　　　3） 231
　　　　　　7） 177
　　　　　　　　 11　←ここが素数になるまで割り続ける。
　　　　よって、 $1848=\mathrm{2}^{3}×3×7×11$
　素因数分解の際は、小さい素数から先に割っていきましょう。

・自然数の約数の個数
　素因数分解ができるようになると、公務員試験で出題されることのある、
　自然数の約数の個数を求める問題も簡単に解けるようになります。
　
　ここで、例として72の約数について考えてみましょう。
　72を素因数分解すれば、 $72=\mathrm{2}^{3}×\mathrm{3}^{2}$ となります。
　72の約数は72を割り切れるわけですから、
　72の素因数の組み合わせでできていなければなりません。
　72の約数は全部で12個（1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72）ありますが、
　これらの約数をすべて素因数分解してみてください。
　2のかけられている数に注目してみると、以下の4通りのパターンに分類できます。
　　・2が3回かけられている（8，24，72）
　　・2が2回かけられている（4，12，36）
　　・2が1回かけられている（2，6，18）
　　・2が1回もかけられていない（1，3，9）
　同様に今度は3のかけられている数に注目してみると、
　以下の3通りのパターンに分類できます。
　　・3が2回かけられている（9，18，36，72）
　　・3が1回かけられている（3，6，12，24）
　　・3が1回もかけられていない（1，2，4，8）
　つまり、2のかけられている数に注目した4通りのパターンそれぞれに、
　3のかけられている数に注目した3通りのパターンが対応していて、
　全部で12種類の約数ができる、というわけです。

　以上から、約数の個数を求める問題は以下のように解けばよいのです。
　【解き方】ある自然数nの約数の個数を求める
　　①nを素因数分解する　⇒　 $n=\mathrm{a}^{p}×\mathrm{b}^{q}×\mathrm{c}^{r}$ …
　　②指数すべてに1を加えてかける　⇒　 $(p+1)(q+1)(r+1)$ …

　注意すべき点は、p，q，rの部分に数字が書かれていない場合は、
　その素因数が1回かけられているということですから、1だと思って処理するということ。
　 $\mathrm{3}^{2}$ は3を2回かけるという意味ですが、
　3を1回かけるという意味で $\mathrm{3}^{1}$ とは書きません。
　指数としての1は省略されているのです。
　くれぐれも $3=\mathrm{3}^{0}$ だなんて勘違いはしないでくださいね。
　 $\mathrm{3}^{0}=1$ ですよ。 $\mathrm{n}^{0}=1$ 、これは常識です！
　
　（例題）90の約数の個数はいくつあるか。
　　　　　　 $90=2×\mathrm{3}^{2}×5$
　　　　　よって、 $(1+1)(2+1)(1+1)=12$ 　　　答え：12個