2018-08-08

素数に関する問題の解答解説（2）

解答解説の続きが上手くアップできず、
記事の追加が遅くなってしまいました。
お待たせしました。
素数の問題練習の解答解説の続きです！

（8）3つの自然数A，B，CがA＜B＜Cのとき、A+B＝41，BC＝667であった。
　　このとき、A+B+Cの値を求めよ。
　　3種類の文字に対して与えられた等式は2つ。
　　これでは方程式で解くのは難しそうです。
　　A，B，Cは自然数なのですから、
　　それならば素因数分解して、BとCになり得る自然数を探ってみましょう。
　　 $667=23×29$
　　よって（B，C）=（1，667）または（23，29）となりますが、
　　A+B＝41とA＜Bを満たせるのはB=23のときですね。
　　このときA=18となります。
　　B=1だとするとA=40となり、A＜Bを満たしません。
　　よって、A=18，B =23，C=29となるので、A+B+C=70となります。

　答え：70

（9）3つの自然数A，B，CがA＜B＜Cのとき、AB＝90，BC＝150であった。
　　このとき、A+B+Cの値を求めよ。
　　この問題も（8）に似ていますね。
　　ふたつの自然数をかけて90になる数を探ってみましょう
　　 $90=2×\mathrm{3}^{2}×5$
　　素因数分解の結果を参考にしながら、
　　かけて90になるふた組の自然数の組み合わせを考えてみましょう。
　　（A，B）=（1，90）（2，45）（3，30）（5，18）（6，15）（9，10）
　　このうち、Bの値が150の約数になっているのは30，15，10の3通り。
　　さらにB＜Cを満たすのはB=10、C=15のときのみです。
　　よって、A=9，B =10，C=15となるので、A+B+C=34となります。

　答え：34

（10） $\sqrt{1080n}$ が自然数となるようなnの、最小の値を答えよ。
　　根号（√）を外せるのは、36とか、49とか、
　　中の自然数が $\mathrm{p}^{2}$ のときですよね。
　　この $\mathrm{p}^{2}$ という自然数、
　　素因数分解したときに、
　　素因数の指数がすべて偶数になるという性質を持っています。

　　ではまず、1080を素因数分解します。
　　 $1080=\mathrm{2}^{3}×\mathrm{3}^{3}×5$ となります。
　　素因数2の指数は3、3の指数も3、5の指数は1と考えましょう。
　　1080は根号を外せる自然数ではないことが判明しました。
　　だから、nに少なくとも素因数として
　　2がひとつ、3がひとつ、5がひとつあれば、
　　素因数の指数はすべて偶数になるので、
　　根号を外せるようになりますね。
　　よって、n=2×3×5=30となります。

　　ちなみに、1080nが $\mathrm{p}^{2}$ となるためには
　　最終的に素因数の指数すべてが偶数になればいいわけで、
　　この条件を満たすnの値は、
　　上記の30に $\mathrm{2}^{2}$ とか、 $\mathrm{3}^{4}$ とか、 $\mathrm{7}^{6}$ とか、
　　偶数乗の指数となるような
　　様々な自然数をかけた数でもOKということになります。
　　つまりnの値は無限にあるのです。
　　だからこの問題は、「最小の値」を求めるように作られているのです。

2018-08-07

素数に関する問題の解答解説（1）

問題練習解答解説素数

問題を解いてみた方は、早速解答してみましょう！

（1）素数を小さい方から9つ答えよ。
　　これは絶対に覚えてくださいね。
　　13で割り切れないような自然数を素因数分解する必要があるとき、
　　23くらいまでは割り切れるか確認するようにしてください。

　答え：2，3，5，7，11，13，17，19，23

（2）36を素因数分解せよ。

　答え： $36=\mathrm{2}^{2}×\mathrm{3}^{2}$

（3）99を素因数分解せよ。

　答え： $99=\mathrm{3}^{2}×11$

（4）221を素因数分解せよ。

　答え： $99=13×17$
　
【Point】
　以下を覚えておくと計算の効率があがります。
　　・2の倍数…1の位が0，2，4，6，8
　　・3の倍数…すべての桁の数の和が3の倍数になっている。
　　・5の倍数…１の位が0か5になっている。
　　　※221を素因数分解する際は上記も参考に、以下のように解いていきます。
　　　　①2では割り切れないと分かる。
　　　　②2＋2＋1＝5で、3の倍数にならないから、3では割り切れない。
　　　　③一の位が0や5ではないから、5では割り切れないと分かる。
　　　　④7で割ることはできない。
　　　　⑤11でも割り切ることはできない。
　　　　⑥13では割りきれる。しかも商は素数の17。
　　　　⑦したがって答えは、13×17となります。
　　　　注）2、3、5と、小さい順に素数で割りきれるか検討していくので、
　　　　　　素数を覚えておく必要があると分かりますね。

（5）551を素因数分解せよ。

　答え： $551=19×29$

【Point】
　551は大体20×25くらいの大きさ。
　また、一の位が1になっているということは、
　素因数の一の位どうしの積が1になるということですね。
　かけ算九九で一の位が1になるのは、1×1，3×7，9×9くらい。
　11，13，17，19あたりで割りきれるのではないかと予想して、
　実際に割ってみると、19で割りきれました。しかも商である29も素数。
　したがって答えは19×29となります。

（6）54の約数はいくつあるか答えよ。
　 $54=2×\mathrm{3}^{3}$
　したがって、約数の個数は、
　すべての（素因数の指数＋1）の積で求められるので、
　（1＋1）×（3＋1）=8　　　　　　

　答え：8個

（7）2520の約数はいくつあるか答えよ。
　 $54=2×\mathrm{3}^{3}$
　したがって、約数の個数は、
　すべての（素因数の指数＋1）の積で求められるので、
　（1＋1）×（3＋1）=8　　　　　　

　答え：8個

2018-08-06

素数に関する練習問題

素数練習問題

それでは、さっそく素数に関する問題を解いてみましょう。
あとで問題解説をアップします。

【素数に関する問題】
（1）素数を小さい方から9つ答えよ。

（2）36を素因数分解せよ。

（3）99を素因数分解せよ。

（4）221を素因数分解せよ。

（5）551を素因数分解せよ。

（6）54の約数はいくつあるか答えよ。

（7）2520の約数はいくつあるか答えよ。

（8）3つの自然数A，B，CがA＜B＜Cのとき、A+B＝41，BC＝667であった。
このとき、A+B+Cの値を求めよ。

（9）3つの自然数A，B，CがA＜B＜Cのとき、AB＝90，BC＝150であった。
このとき、A+B+Cの値を求めよ。

（10） $\sqrt{1080n}$ が自然数となるようなnの、最小の値を答えよ。

2018-08-06

素数に関する要点解説

素数要点解説

それでは早速、学習を進めていきましょう。
まずは素数の要点から説明していきます。
しっかり理解して、次回にアップする問題を解いてみましょう。

・素数とは？
　①1と自分自身の2つしか約数を持たない自然数（正の整数）のこと。
　②どの自然数も、素数の積の形で表すことができる。

・覚えておくべき素数は？
　素数は無限に存在しますが、小さいほうから9つは必ず覚えておきましょう。
　素因数分解をする際、役に立ちます。
　　⇒2，3，5，7，11，13，17，19，23，（29，31…）
　　　※兄さんゴー、セブンイレブンの父さんいいな、行く兄さん（肉くさい…）

・素因数分解
　素数の積の形で自然数を表すことを素因数分解といいます。
　下の例のように、ひたすら素数だけで割り続けます。
　（例）　　2）1848
　　　　　　2） 924
　　　　　　2） 462
　　　　　　3） 231
　　　　　　7） 177
　　　　　　　　 11　←ここが素数になるまで割り続ける。
　　　　よって、 $1848=\mathrm{2}^{3}×3×7×11$
　素因数分解の際は、小さい素数から先に割っていきましょう。

・自然数の約数の個数
　素因数分解ができるようになると、公務員試験で出題されることのある、
　自然数の約数の個数を求める問題も簡単に解けるようになります。
　
　ここで、例として72の約数について考えてみましょう。
　72を素因数分解すれば、 $72=\mathrm{2}^{3}×\mathrm{3}^{2}$ となります。
　72の約数は72を割り切れるわけですから、
　72の素因数の組み合わせでできていなければなりません。
　72の約数は全部で12個（1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72）ありますが、
　これらの約数をすべて素因数分解してみてください。
　2のかけられている数に注目してみると、以下の4通りのパターンに分類できます。
　　・2が3回かけられている（8，24，72）
　　・2が2回かけられている（4，12，36）
　　・2が1回かけられている（2，6，18）
　　・2が1回もかけられていない（1，3，9）
　同様に今度は3のかけられている数に注目してみると、
　以下の3通りのパターンに分類できます。
　　・3が2回かけられている（9，18，36，72）
　　・3が1回かけられている（3，6，12，24）
　　・3が1回もかけられていない（1，2，4，8）
　つまり、2のかけられている数に注目した4通りのパターンそれぞれに、
　3のかけられている数に注目した3通りのパターンが対応していて、
　全部で12種類の約数ができる、というわけです。

　以上から、約数の個数を求める問題は以下のように解けばよいのです。
　【解き方】ある自然数nの約数の個数を求める
　　①nを素因数分解する　⇒　 $n=\mathrm{a}^{p}×\mathrm{b}^{q}×\mathrm{c}^{r}$ …
　　②指数すべてに1を加えてかける　⇒　 $(p+1)(q+1)(r+1)$ …

　注意すべき点は、p，q，rの部分に数字が書かれていない場合は、
　その素因数が1回かけられているということですから、1だと思って処理するということ。
　 $\mathrm{3}^{2}$ は3を2回かけるという意味ですが、
　3を1回かけるという意味で $\mathrm{3}^{1}$ とは書きません。
　指数としての1は省略されているのです。
　くれぐれも $3=\mathrm{3}^{0}$ だなんて勘違いはしないでくださいね。
　 $\mathrm{3}^{0}=1$ ですよ。 $\mathrm{n}^{0}=1$ 、これは常識です！
　
　（例題）90の約数の個数はいくつあるか。
　　　　　　 $90=2×\mathrm{3}^{2}×5$
　　　　　よって、 $(1+1)(2+1)(1+1)=12$ 　　　答え：12個