素数に関する問題の解答解説（2） - 基礎からガッツリ！　数的推理

解答解説の続きが上手くアップできず、
記事の追加が遅くなってしまいました。
お待たせしました。
素数の問題練習の解答解説の続きです！

（8）3つの自然数A，B，CがA＜B＜Cのとき、A+B＝41，BC＝667であった。
　　このとき、A+B+Cの値を求めよ。
　　3種類の文字に対して与えられた等式は2つ。
　　これでは方程式で解くのは難しそうです。
　　A，B，Cは自然数なのですから、
　　それならば素因数分解して、BとCになり得る自然数を探ってみましょう。
　　 $667=23×29$
　　よって（B，C）=（1，667）または（23，29）となりますが、
　　A+B＝41とA＜Bを満たせるのはB=23のときですね。
　　このときA=18となります。
　　B=1だとするとA=40となり、A＜Bを満たしません。
　　よって、A=18，B =23，C=29となるので、A+B+C=70となります。

　答え：70

（9）3つの自然数A，B，CがA＜B＜Cのとき、AB＝90，BC＝150であった。
　　このとき、A+B+Cの値を求めよ。
　　この問題も（8）に似ていますね。
　　ふたつの自然数をかけて90になる数を探ってみましょう
　　 $90=2×\mathrm{3}^{2}×5$
　　素因数分解の結果を参考にしながら、
　　かけて90になるふた組の自然数の組み合わせを考えてみましょう。
　　（A，B）=（1，90）（2，45）（3，30）（5，18）（6，15）（9，10）
　　このうち、Bの値が150の約数になっているのは30，15，10の3通り。
　　さらにB＜Cを満たすのはB=10、C=15のときのみです。
　　よって、A=9，B =10，C=15となるので、A+B+C=34となります。

　答え：34

（10） $\sqrt{1080n}$ が自然数となるようなnの、最小の値を答えよ。
　　根号（√）を外せるのは、36とか、49とか、
　　中の自然数が $\mathrm{p}^{2}$ のときですよね。
　　この $\mathrm{p}^{2}$ という自然数、
　　素因数分解したときに、
　　素因数の指数がすべて偶数になるという性質を持っています。

　　ではまず、1080を素因数分解します。
　　 $1080=\mathrm{2}^{3}×\mathrm{3}^{3}×5$ となります。
　　素因数2の指数は3、3の指数も3、5の指数は1と考えましょう。
　　1080は根号を外せる自然数ではないことが判明しました。
　　だから、nに少なくとも素因数として
　　2がひとつ、3がひとつ、5がひとつあれば、
　　素因数の指数はすべて偶数になるので、
　　根号を外せるようになりますね。
　　よって、n=2×3×5=30となります。

　　ちなみに、1080nが $\mathrm{p}^{2}$ となるためには
　　最終的に素因数の指数すべてが偶数になればいいわけで、
　　この条件を満たすnの値は、
　　上記の30に $\mathrm{2}^{2}$ とか、 $\mathrm{3}^{4}$ とか、 $\mathrm{7}^{6}$ とか、
　　偶数乗の指数となるような
　　様々な自然数をかけた数でもOKということになります。
　　つまりnの値は無限にあるのです。
　　だからこの問題は、「最小の値」を求めるように作られているのです。